La curva braquistocrona: 18 pasos (con imágenes)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Última modificación: 2024-01-30 08:41

La curva braquistocrona es un problema de física clásico, que deriva el camino más rápido entre dos puntos A y B que se encuentran a diferentes alturas. Aunque este problema puede parecer simple, ofrece un resultado contrario a la intuición y, por lo tanto, es fascinante de ver. En estos instructivos uno aprenderá sobre el problema teórico, desarrollará la solución y finalmente construirá un modelo que demuestre las propiedades de este asombroso principio de la física.

Este proyecto está diseñado para que lo hagan los estudiantes de secundaria, ya que están cubriendo conceptos relacionados en las clases de teoría. Este proyecto práctico no solo refuerza su comprensión del tema, sino que también ofrece una síntesis de varios otros campos a desarrollar. Por ejemplo, mientras construyen el modelo, los estudiantes aprenderán sobre óptica a través de la ley de Snell, programación de computadoras, modelado 3D, frabricación digital y habilidades básicas de carpintería. Esto permite que toda una clase contribuya dividiendo el trabajo entre ellos, convirtiéndolo en un esfuerzo de equipo. El tiempo necesario para realizar este proyecto es de alrededor de una semana y luego se puede demostrar a la clase oa los estudiantes más jóvenes.

No hay mejor manera de aprender que a través de STEM, así que continúe para crear su propio modelo de braquistocrona funcional. Si le gusta el proyecto, vote por él en el concurso de aula.

Paso 1: problema teórico

El problema de la braquistocrona gira en torno a encontrar una curva que une dos puntos A y B que están a diferentes alturas, de modo que B no está directamente debajo de A, de modo que dejar caer una canica bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme a lo largo de esta trayectoria llegar a B en el menor tiempo posible. El problema lo planteó Johann Bernoulli en 1696.

Cuando Johann Bernoulli preguntó el problema de la braquistocrona, en junio de 1696, a los lectores de Acta Eruditorum, que fue una de las primeras revistas científicas de las tierras de habla alemana de Europa, recibió respuestas de 5 matemáticos: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l'Hôpital, ¡cada uno con enfoques únicos!

Alerta: los siguientes pasos contienen la respuesta y revelan la belleza detrás de este camino más rápido. Tómate un momento para intentar pensar en este problema, tal vez puedas resolverlo como uno de estos cinco genios.

Paso 2: usar la ley de Snell para demostrar

Uno de los enfoques para resolver el problema de la braquistocrona es abordar el problema trazando analogías con la ley de Snell. La Ley de Snell se utiliza para describir la trayectoria que seguiría un rayo de luz para ir de un punto a otro durante la transición a través de dos medios diferentes, utilizando el principio de Fermat, que dice que un rayo de luz siempre tomará la ruta más rápida. Puede encontrar una derivación formal de esta ecuación visitando el siguiente enlace.

Dado que un objeto en caída libre bajo la influencia del campo gravitacional se puede comparar con un rayo de luz en transición a través de medios cambiantes, cada vez que el rayo de luz se encuentra con un nuevo medio, el rayo se desvía ligeramente. El ángulo de esta desviación se puede calcular utilizando la ley de Snell. A medida que se continúan agregando capas de densidades reductoras frente al haz de luz desviado, hasta que el haz alcanza el ángulo crítico, donde el haz simplemente se refleja, la trayectoria del haz describe la curva braquistocrona. (la curva roja en el diagrama de arriba)

La curva braquistocrona es de hecho una cicloide, que es la curva trazada por un punto en el borde de una rueda circular cuando la rueda rueda a lo largo de una línea recta sin resbalar. Por lo tanto, si necesitamos dibujar la curva, simplemente puede usar el método anterior para generarla. Otra propiedad única de la curva es que una bola que se suelta desde cualquier punto de la curva tardará exactamente el mismo tiempo en llegar al fondo. Los siguientes pasos describen el proceso de realizar un experimento en el aula mediante la construcción de un modelo.

Paso 3: Modelo de experimento práctico

El modelo consta de caminos cortados con láser que actúan como pistas para las canicas. Para demostrar que la curva braquistocrona es el camino más rápido desde el punto A al B, decidimos compararlo con otros dos caminos. Como algunas personas intuitivamente sentirían que la parte más corta es la más rápida, decidimos poner una pendiente recta conectando ambos puntos como el segundo camino. La tercera es una curva empinada, ya que uno sentiría que la caída repentina generaría suficiente velocidad para vencer al resto.

El segundo experimento en el que las bolas se lanzan desde diferentes alturas en tres trayectorias braquistocronas, resulta con las bolas alcanzando al mismo tiempo. Por lo tanto, nuestro modelo presenta guías impresas en 3D que brindan una fácil intercambiabilidad entre los paneles acrílicos, lo que permite realizar ambos experimentos.

Finalmente, el mecanismo de liberación asegura que las bolas caigan juntas y el módulo de cronometraje en la parte inferior registra los tiempos cuando las bolas llegan al fondo. Para conseguirlo hemos incorporado tres finales de carrera que se activan cuando las bolas lo disparan.

Nota: Uno podría simplemente copiar este diseño y hacerlo de cartón u otros materiales que estén fácilmente disponibles.

Paso 4: Materiales necesarios

Aquí están las piezas y los suministros para hacer un modelo funcional del experimento de braquistocrona.

HARDWARE:

Tablón de madera de pino de 1 "- dimensiones: 100 cm por 10 cm

Neodimio Magnetx 4 - dimensiones; 1 cm de diámetro y 0,5 cm de altura

Filamento de impresión 3D: PLA o ABS están bien

Inserto roscado M3 x 8 - (opcional)

Perno M3 x 8 - 2,5 cm de largo

Tornillo para madera x 3-6 cm de largo

Tornillo para madera x 12-2,5 cm de largo

ELECTRÓNICA:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- estos interruptores actuarán como el sistema de cronometraje

Presionar el botón

Pantalla LCD

Jumpwire x muchos

El costo total del modelo fue de alrededor de 30 $

Paso 5: Impresión 3D

Varias partes, como el mecanismo de liberación y la caja de control, se hicieron con la ayuda de una impresora 3D. La siguiente lista contiene el número total de piezas y sus especificaciones de impresión. Todos los archivos STL se proporcionan en una carpeta adjunta arriba, lo que permite realizar las modificaciones necesarias si es necesario.

Caja de control x 1, 20% de relleno

Guía x 6, 30% de relleno

Parada final x 1, 20% de relleno

Brazo de pivote x 1, 20% de relleno

Montaje pivotante x 1, 30% de relleno

Pieza de liberación x 1, 20% de relleno

Las piezas se imprimieron en PLA ya que no existe una tensión particular que actúe sobre las piezas. En total, tomó alrededor de 40 horas de impresión.

Paso 6: corte por láser de los caminos

Las diversas rutas que diseñamos en fusion 360 se exportaron como archivos.dxf y luego se cortaron con láser. Elegimos acrílico blanco opaco con un grosor de 3 mm para hacer las curvas. Incluso se puede hacer de madera con herramientas manuales, pero es importante asegurarse de que el material elegido sea rígido, ya que la flexibilidad podría afectar la forma en que ruedan las bolas.

6 x curva braquistocrona

2 x curva pronunciada

2 x curva recta

Paso 7: cortar la madera

El marco del modelo está hecho de madera. Elegimos pino de 1 "por 4" ya que nos quedaba algo de un proyecto anterior, aunque se puede usar una madera de su elección. Utilizando una sierra circular y una guía cortamos dos trozos de madera de largo:

48cm que es la longitud del camino

31cm que es la altura

Limpiamos los bordes ásperos lijándolos ligeramente con la lijadora de disco.

Paso 8: Perforación de los agujeros

Antes de atornillar las dos piezas juntas, marque el grosor de la madera en un extremo de la pieza inferior y centre tres agujeros equidistantes. Usamos una broca de 5 mm para crear un orificio piloto en ambas piezas de madera y avellanamos el orificio en la pieza inferior para permitir que la cabeza del tornillo quede al ras.

Nota: Tenga cuidado de no partir la pieza de madera vertical, ya que se perforará en la veta del extremo. También use tornillos largos para madera, ya que es importante que el marco no se mueva y la parte superior debido al apalancamiento.

Paso 9: Incorporación de los disipadores de calor y los imanes

Como los hilos de las piezas impresas en 3D tienden a desgastarse con el tiempo, decidimos incorporar disipadores de calor. Los orificios son ligeramente más pequeños para permitir que el disipador de calor se adhiera mejor al plástico. Colocamos disipadores de calor M3 sobre los orificios y los empujamos con la punta de un soldador. El calor derrite el plástico, dejando que los dientes se encajen. Asegúrese de que estén al ras con la superficie y hayan entrado perpendicularmente. En total hay 8 puntos para las inserciones roscadas: 4 para la tapa y 4 para montar el Arduino Uno.

Para facilitar el montaje de la unidad de sincronización, incorporamos imanes en la caja, lo que facilita su extracción si alguna vez se requieren cambios. Los imanes deben orientarse en la misma dirección antes de colocarlos en su lugar.

Paso 10: Colocación de los interruptores de límite

Los tres interruptores de límite están conectados a un lado de la unidad de tiempo que mira hacia la parte inferior de los caminos. Por lo tanto, cuando las bolas hacen clic en los interruptores, se puede determinar qué bola alcanzó primero y mostrar el tiempo en una pantalla LCD. Suelde pequeñas tiras de cable a los terminales y asegúrelos en las ranuras con un poco de pegamento CA, ya que no deben aflojarse después de golpes continuos.

Paso 11: Pantalla LCD

La tapa de la unidad de sincronización tiene un corte rectangular para la pantalla LCD y un orificio para el botón de "inicio". Aseguramos la pantalla con toques de pegamento caliente hasta que quedó al ras con la superficie de la tapa y fijamos el botón rojo con su tuerca de montaje.

Paso 12: Cableado de la electrónica

El cableado consiste en conectar los diversos componentes en los pines correctos del Arduino. Siga el diagrama de cableado adjunto arriba para configurar la caja.

Paso 13: Cargar el código

El código Arduino para el proyecto brachistochrone se puede encontrar adjunto a continuación. Hay dos aberturas en el compartimento de la electrónica para facilitar el acceso al puerto de programación de Arduino y para el conector de alimentación.

El botón rojo que se adjunta en la parte superior de la caja se utiliza para iniciar el temporizador. Una vez que las canicas bajan por las curvas y activan los interruptores de límite, que se colocan en la parte inferior, los tiempos se registran secuencialmente. Después de que las tres bolas golpean, la pantalla LCD muestra los resultados, alineados con las curvas respectivas (imágenes adjuntas arriba). Una vez que haya anotado los resultados en caso de que se requiera una segunda lectura, simplemente presione el botón principal nuevamente para actualizar el temporizador y repita el mismo proceso.

Paso 14: las guías de impresión 3D

Las guías que se imprimieron en 3D tenían una base de material de 3 mm antes de que comenzaran las paredes de soporte. Por lo tanto, cuando los paneles acrílicos se deslizarían en su lugar, habría un espacio entre el panel y el marco de madera, lo que disminuiría la estabilidad del camino.

Por lo tanto, la guía debía incrustarse 3 mm en la madera. Como no teníamos enrutador, lo llevamos a un taller local y lo hicimos en una fresadora. Después de un poco de lijado, las impresiones quedaron bien ajustadas y pudimos asegurarlo con tornillos para madera desde el lateral. Se adjunta arriba una plantilla para la colocación de las 6 guías en el marco de madera.

Paso 15: agregar el tapón y la unidad de sincronización

Como el módulo de temporización era un sistema separado, decidimos hacer un sistema de montaje y desmontaje rápido mediante el uso de imanes. De esta manera, se puede programar fácilmente, simplemente sacando la unidad. En lugar de hacer una plantilla para transferir la posición de los imanes que necesitan incrustarse en la madera, simplemente dejamos que se conecten a los de la caja y luego ponemos un poco de pegamento y colocamos la caja sobre la pieza de madera. Las marcas de pegamento se transfirieron a la madera, lo que nos permitió perforar rápidamente los agujeros en los puntos precisos. Finalmente, coloque el tapón impreso en 3D y la unidad de sincronización debe encajar cómodamente pero poder desprenderse con un ligero tirón.

Paso 16: el mecanismo de liberación

El mecanismo de liberación es sencillo. Use una tuerca y un perno para conectar firmemente la sección C al brazo de pivote, convirtiéndolos en una pieza segura. Luego taladre dos agujeros en el medio de la madera vertical y coloque el soporte. Desliza un eje pivotante y el mecanismo está completo.

Paso 17: el experimento

Ahora que el modelo está listo, se pueden realizar los siguientes experimentos

Experimento 1

Deslice con cuidado los paneles acrílicos del camino recto, la curva braquistocrona y el camino empinado (en este orden para obtener el mejor efecto). Luego tire del pestillo hacia arriba y coloque las tres bolas en la parte superior de la curva asegurándose de que estén perfectamente alineadas entre sí. Sujételos firmemente en su lugar con el pestillo hacia abajo. Haga que un estudiante suelte las bolas y que otro presione el botón rojo para iniciar el sistema de cronometraje. Por último, observe las bolas que ruedan por el camino y analice los resultados que se muestran en el módulo de cronometraje. Configurar una cámara para grabar imágenes en cámara lenta es aún más emocionante, ya que se puede ver la carrera fotograma a fotograma.

Experimento 2

Como en el experimento anterior, deslice los paneles acrílicos, pero esta vez todos los caminos deben ser la curva brachistonchrone. Pídale con cuidado a un estudiante que sostenga las tres bolas en diferentes alturas esta vez y presione el botón rojo mientras se sueltan las bolas. Observe el asombroso momento cuando las bolas se alinean perfectamente antes de la línea de meta y confirme las observaciones con los resultados.

Paso 18: Conclusión

La creación del modelo de braquistocrona es una forma práctica de ver las formas mágicas en las que funciona la ciencia. Los experimentos no solo son divertidos de ver y atractivos, sino que también ofrecen una síntesis de los aspectos de aprendizaje. Si bien es principalmente un proyecto destinado a estudiantes de secundaria, tanto en la práctica como en la teoría, esta demostración puede ser comprendida fácilmente por los niños más pequeños y podría mostrarse como una presentación simplificada.

Nos gustaría animar a la gente a hacer cosas, ya sea un éxito o un fracaso, porque al final del día, ¡STEM siempre es divertido! ¡Feliz fabricación!

Vota en el concurso del aula si te gustaron los instructivos y deja tus comentarios en la sección de comentarios.

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