Péndulo invertido: Teoría y dinámica del control: 17 pasos (con imágenes)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Última modificación: 2024-01-30 08:42

El péndulo invertido es un problema clásico en la teoría de la dinámica y el control que generalmente se elabora en los cursos de física o matemáticas de bachillerato y pregrado. Siendo yo mismo un entusiasta de las matemáticas y las ciencias, decidí intentar implementar los conceptos que aprendí durante mis clases para construir un péndulo invertido. La aplicación de estos conceptos en la vida real no solo ayuda a fortalecer su comprensión de los conceptos, sino que también lo expone a una dimensión completamente nueva de problemas y desafíos que tratan con la practicidad y situaciones de la vida real que uno nunca puede encontrar en las clases de teoría.

En este instructivo, primero presentaré el problema del péndulo invertido, luego cubriré el aspecto teórico del problema y luego discutiré el hardware y el software necesarios para dar vida a este concepto.

Le sugiero que mire el video que se adjunta arriba mientras revisa el instructivo que le dará una mejor comprensión.

Y finalmente, no olvides votar en el 'Concurso de ciencias en el aula' si te gustó este proyecto y no dudes en dejar cualquier pregunta en la sección de comentarios a continuación. ¡Feliz fabricación!:)

Paso 1: el problema

El problema del péndulo invertido es análogo a equilibrar una escoba o un palo largo en la palma de la mano, que es algo que la mayoría de nosotros hemos intentado cuando éramos niños. Cuando nuestros ojos ven que el poste cae hacia un cierto lado, envían esta información al cerebro, que realiza ciertos cálculos y luego le indica a su brazo que se mueva a una cierta posición con una cierta velocidad para contrarrestar el movimiento del poste, lo que con suerte traerá la inclinando el poste de nuevo a la vertical. Este proceso se repite varios cientos de veces por segundo, lo que mantiene el poste completamente bajo su control. El péndulo invertido funciona de manera similar. El objetivo es equilibrar un péndulo boca abajo sobre un carro al que se le permite moverse. En lugar de ojos, se usa un sensor para detectar la posición del péndulo que envía la información a una computadora que realiza ciertos cálculos e indica a los actuadores que muevan el carro de manera que el péndulo vuelva a ser vertical.

Paso 2: la solución

Este problema de equilibrar un péndulo al revés requiere una comprensión de los movimientos y fuerzas que están en juego en este sistema. Con el tiempo, esta información nos permitirá llegar a "ecuaciones de movimiento" del sistema que se pueden utilizar para calcular las relaciones entre la salida que va a los actuadores y las entradas que vienen de los sensores.

Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de dos formas dependiendo de su nivel. Pueden derivarse utilizando las leyes básicas de Newton y algunas matemáticas de nivel secundario o utilizando la mecánica lagrangiana, que generalmente se introduce en los cursos de física de pregrado. (Nota: Derivar las ecuaciones de movimiento usando las leyes de Newton es simple pero tedioso, mientras que usar la mecánica lagrangiana es mucho más elegante pero requiere la comprensión de la mecánica lagrangiana, aunque ambos enfoques eventualmente conducen a la misma solución).

Ambos enfoques y sus derivaciones formales generalmente se tratan en las clases de matemáticas o física de la escuela secundaria o de pregrado, aunque se pueden encontrar fácilmente mediante una simple búsqueda en Google o visitando este enlace. Al observar las ecuaciones finales de movimiento notamos una relación entre cuatro cantidades:

• El ángulo del péndulo a la vertical.
• La velocidad angular del péndulo
• La aceleración angular del péndulo.
• La aceleración lineal del carro.

Donde las tres primeras son cantidades que serán medidas por el sensor y la última cantidad se enviará al actuador para que la realice.

Paso 3: Teoría de control

La teoría del control es un subcampo de las matemáticas que se ocupa del control y funcionamiento de sistemas dinámicos en procesos y máquinas diseñados. El objetivo es desarrollar un modelo de control o un bucle de control para lograr la estabilidad en general. En nuestro caso, equilibre el péndulo invertido.

Hay dos tipos principales de bucles de control: control de bucle abierto y control de bucle cerrado. Al implementar un control de bucle abierto, la acción de control o el comando del controlador es independiente de la salida del sistema. Un buen ejemplo de esto es un horno, donde la cantidad de tiempo que el horno permanece encendido depende puramente del temporizador.

Mientras que en un sistema de circuito cerrado, el comando del controlador depende de la retroalimentación del estado del sistema. En nuestro caso, la retroalimentación es el ángulo del péndulo con referencia a la normal que determina la velocidad y la posición del carro, haciendo de este sistema un sistema de circuito cerrado. Se adjunta arriba una representación visual en forma de diagrama de bloques de un sistema de circuito cerrado.

Existen varias técnicas de mecanismo de retroalimentación pero una de las más utilizadas es el controlador proporcional-integral-derivativo (controlador PID), que es el que vamos a utilizar.

Nota: Comprender el funcionamiento de dichos controladores es muy útil para desarrollar un controlador exitoso, aunque explicar las operaciones de dicho controlador está más allá del alcance de este instructivo. En caso de que no se haya encontrado con este tipo de controladores en su curso, hay un montón de material en línea y una simple búsqueda en Google o un curso en línea le ayudarán.

Paso 4: Implementar este proyecto en su salón de clases

Grupo de edad: este proyecto es principalmente para estudiantes de secundaria o de pregrado, pero también podría presentarse a niños más pequeños simplemente como una demostración al dar una descripción general de los conceptos.

Conceptos cubiertos: Los principales conceptos que se tratan en este proyecto son la dinámica y la teoría de control.

Tiempo requerido: una vez que todas las piezas están reunidas y fabricadas, el montaje lleva de 10 a 15 minutos. La creación del modelo de control requiere algo más de tiempo, para ello, los estudiantes pueden disponer de 2 a 3 días. Una vez que cada estudiante individual (o grupo de estudiantes) haya desarrollado sus respectivos modelos de control, se puede usar otro día para que los individuos o los equipos se demuestren.

Una forma de implementar este proyecto en su salón de clases sería construir el sistema (descrito en los siguientes pasos), mientras el lote está trabajando en los subtemas de la física relacionados con la dinámica o mientras están estudiando sistemas de control en las clases de matemáticas. De esta manera, las ideas y conceptos que se encuentran durante la clase se pueden implementar directamente en una aplicación del mundo real, haciendo que sus conceptos sean mucho más claros porque no hay mejor manera de aprender un nuevo concepto que implementándolo en la vida real.

Se puede construir un solo sistema, juntos como una clase y luego la clase se puede dividir en equipos, cada uno construyendo un modelo de control desde cero. Luego, cada equipo puede demostrar su trabajo en un formato de competencia, donde el mejor modelo de control es el que puede equilibrar más tiempo y soportar empujones y empujones con fuerza.

Otra forma de implementar este proyecto en su salón de clases sería hacer que los niños mayores (nivel de secundaria más o menos), desarrollen este proyecto y demuestren a los niños más pequeños mientras les brindan una descripción general de la dinámica y los controles. Esto no solo puede despertar el interés de los niños más pequeños por la física y las matemáticas, sino que también ayudará a los estudiantes mayores a cristalizar sus conceptos de la teoría porque una de las mejores formas de fortalecer sus conceptos es explicándolos a los demás, especialmente a los niños más pequeños, ya que es necesario. usted para formular sus ideas de una manera muy simple y clara.

Paso 5: Piezas y suministros

Se permitirá que el carro se mueva libremente sobre un conjunto de rieles que le darán un solo grado de libertad. Aquí están las piezas y suministros necesarios para hacer el péndulo y el sistema de carro y rieles:

Electrónica:

• Una placa compatible con Arduino, cualquiera funcionará. Recomiendo un Uno en caso de que no tenga mucha experiencia con la electrónica porque será más fácil de seguir.
• Un motor paso a paso Nema17, que funcionará como actuador del carro.
• Un controlador de motor paso a paso, una vez más, todo funcionará, pero recomiendo el controlador de motor paso a paso A4988 porque será más fácil de seguir.
• Un MPU-6050 Six-Axis (Gyro + Acelerometer), que detectará los diversos parámetros como el ángulo y la velocidad angular del péndulo.
• Una fuente de alimentación de 12v 10A, 10A es en realidad un poco exagerado para este proyecto específico, cualquier cosa por encima de 3A funcionará, pero tener la posibilidad de consumir corriente adicional permite el desarrollo futuro donde se requiera más energía.

Hardware:

• 16 x rodamientos, usé rodamientos de patineta y funcionaron muy bien
• 2 poleas y correa GT2
• Aproximadamente 2,4 metros de tubería de PVC de 1,5 pulgadas
• Manojo de tuercas y tornillos de 4 mm

Algunas de las piezas que se utilizaron en este proyecto también se imprimieron en 3D, por lo que contar con una impresora 3D será muy útil, aunque las instalaciones de impresión 3D locales o en línea suelen estar disponibles.

El costo total de todas las piezas es un poco menos de 50 $ (excluyendo la impresora 3D)

Paso 6: Piezas impresas en 3D

Algunas de las partes del sistema de carritos y rieles tenían que hacerse a medida, así que utilicé Fusion360 de libre uso de Autodesk para modelar los archivos CAD e imprimirlos en 3D en una impresora 3D.

Algunas de las partes que tenían formas puramente 2D, como el péndulo y la plataforma del pórtico, se cortaron con láser, ya que era mucho más rápido. Todos los archivos STL se adjuntan a continuación en la carpeta comprimida. Aquí hay una lista completa de todas las partes:

• 2 x rodillo de pórtico
• 4 x tapas finales
• 1 x soporte paso a paso
• 2 x soporte de cojinete de polea inactiva
• 1 x soporte de péndulo
• 2 x accesorio de cinturón
• 1 x soporte de cojinete de péndulo (a)
• 1 x soporte de cojinete de péndulo (b)
• 1 x espaciador de orificio de polea
• 4 x espaciador de orificio de cojinete
• 1 x placa de pórtico
• 1 x placa de soporte paso a paso
• 1 x placa de soporte de polea inactiva
• 1 x péndulo (a)
• 1 x Péndulo (b)

En total hay 24 piezas, que no tardan mucho en imprimirse, ya que las piezas son pequeñas y se pueden imprimir juntas. En el transcurso de este instructivo, me referiré a las partes según los nombres de esta lista.

Paso 7: Montaje de los rodillos de pórtico

Los rodillos del pórtico son como las ruedas del carro. Estos rodarán a lo largo de la pista de PVC, lo que permitirá que el carro se mueva suavemente con una fricción mínima. Para este paso, tome los dos rodillos de pórtico impresos en 3D, 12 rodamientos y un montón de tuercas y pernos. Necesitará 6 rodamientos por rodillo. Fije los cojinetes al rodillo con las tuercas y los tornillos (utilice las imágenes como referencia). Una vez que esté hecho cada rodillo, deslícelo sobre el tubo de PVC.

Paso 8: Montaje del sistema de transmisión (motor paso a paso)

El carro será impulsado por un motor paso a paso Nema17 estándar. Sujete el motor en el soporte paso a paso usando los tornillos que deberían haber venido como un conjunto con el paso a paso. Luego, atornille el soporte en la placa del soporte del paso a paso, alinee los 4 orificios del soporte con los 4 de la placa y use tuercas y pernos para asegurar los dos juntos. A continuación, monte la polea GT2 en el eje del motor y conecte las 2 tapas de los extremos a la placa del soporte del paso a paso desde la parte inferior con más tuercas y pernos. Una vez hecho esto, puede deslizar las tapas de los extremos sobre las tuberías. En caso de que el ajuste sea demasiado correcto en lugar de forzar las tapas de los extremos en las tuberías, recomiendo lijar la superficie interior de la tapa de los extremos impresa en 3D hasta que el ajuste sea perfecto.

Paso 9: Montaje del sistema de transmisión (polea inactiva)

Las tuercas y los tornillos que estaba usando tenían 4 mm de diámetro, aunque los orificios de la polea y los cojinetes eran de 6 mm, por lo que tuve que imprimir adaptadores en 3D y empujarlos en los orificios de la polea y los cojinetes para que no lo hicieran. bamboleo en el cerrojo. Si tiene tuercas y tornillos del tamaño correcto, no necesitará este paso.

Coloque los cojinetes en el soporte del cojinete de la polea loca. Una vez más, si el ajuste es demasiado apretado, use papel de lija para lijar ligeramente la pared interior del soporte del cojinete de la polea inactiva. Pase un perno a través de uno de los cojinetes, luego deslice una polea en el perno y cierre el otro extremo con el segundo cojinete y el juego de soporte de cojinete de polea inactiva.

Una vez hecho esto, coloque el par de soportes de cojinetes de la polea inactiva en la placa del soporte de la polea inactiva y coloque las tapas de los extremos en la cara inferior de esta placa, de manera similar al paso anterior. Finalmente, tape el extremo opuesto de los dos tubos de PVC con estos tapones. Con esto los rieles para su carro están completos.

Paso 10: Montaje del pórtico

El siguiente paso es construir el carro. Una los dos rodillos juntos usando la placa del pórtico y 4 tuercas y pernos. Las placas del pórtico tienen ranuras para que pueda ajustar la posición de la placa para pequeños ajustes.

A continuación, monte los dos accesorios de la correa en ambos lados de la placa del pórtico. Asegúrese de colocarlos desde la parte inferior, de lo contrario, el cinturón no estará al mismo nivel. Asegúrese de pasar también los pernos desde la parte inferior, porque de lo contrario, si los pernos son demasiado largos, pueden causar una obstrucción para la correa.

Por último, coloque el soporte del péndulo en la parte delantera del carro con tuercas y pernos.

Paso 11: Montaje del péndulo

El péndulo se hizo en dos piezas simplemente para ahorrar material. Puede pegar las dos piezas alineando los dientes y superponiéndolos. Vuelva a empujar los espaciadores de los orificios de los cojinetes en los dos cojinetes para compensar los diámetros de los pernos más pequeños y luego empuje los cojinetes en los orificios de los cojinetes de las dos piezas del soporte del cojinete del péndulo. Sujete las dos partes impresas en 3D a cada lado del extremo inferior del péndulo y asegure las 3 juntas con 3 tuercas y pernos que pasen a través de los soportes del rodamiento del péndulo. Pase un perno a través de los dos cojinetes y asegure el otro extremo con la tuerca correspondiente.

A continuación, tome su MPU6050 y fíjelo en el extremo opuesto del péndulo con tornillos de montaje.

Paso 12: Montaje del péndulo y las correas

El último paso es montar el péndulo en el carro. Haga esto pasando el perno que había pasado anteriormente a través de los dos cojinetes del péndulo, a través del orificio en el soporte del péndulo que está unido al frente del carro y use una tuerca en el otro extremo para asegurar el péndulo en el carro.

Finalmente, agarre su cinturón GT2 y primero asegure un extremo a uno de los accesorios del cinturón que está sujeto al carro. Para esto, utilicé un elegante clip para cinturón imprimible en 3D que se engancha en el extremo del cinturón y evita que se deslice a través de la ranura estrecha. Los stls de esta pieza se pueden encontrar en Thingiverse usando este enlace. Envuelva la correa completamente alrededor de la polea paso a paso y la polea inactiva y asegure el otro extremo de la correa a la pieza de sujeción de la correa en el extremo opuesto del carro. Tensa el cinturón asegurándote de no apretar demasiado o dejarlo demasiado suelto y con esto tu péndulo y tu carro están completos!

Paso 13: cableado y electrónica

El cableado consiste en conectar el MPU6050 al Arduino y el cableado del sistema de transmisión. Siga el diagrama de cableado adjunto arriba para conectar cada componente.

MPU6050 a Arduino:

• GND a GND
• + 5v hasta + 5v
• SDA a A4
• SCL a A5
• Int a D2

Motor paso a paso a controlador paso a paso:

• Bobina 1 (a) a 1A
• Bobina 1 (b) a 1B
• Bobina 2 (a) a 2A
• Bobina 2 (b) a 2B

Controlador paso a paso para Arduino:

• GND a GND
• VDD a + 5v
• PASO a D3
• DIR a D2
• VMOT al terminal positivo de la fuente de alimentación
• GND al terminal de tierra de la fuente de alimentación

Los pines de reposo y reinicio del controlador paso a paso deben conectarse con un puente. Y finalmente, es una buena idea conectar un condensador electrolítico de aproximadamente 100 uF en paralelo con los terminales positivo y de tierra de la fuente de alimentación.

Paso 14: Control del sistema (control proporcional)

Inicialmente, decidí probar un sistema de control proporcional básico, es decir, la velocidad del carro es simplemente proporcional por un cierto factor al ángulo que forma el péndulo con la vertical. Esto estaba destinado a ser simplemente una prueba para asegurarse de que todas las partes funcionaran correctamente. Aunque, este sistema proporcional básico era lo suficientemente robusto como para hacer que el péndulo ya se equilibrara. El péndulo podría incluso contrarrestar los suaves empujones y codazos con bastante fuerza. Si bien este sistema de control funcionó notablemente bien, todavía tenía algunos problemas. Si uno mira el gráfico de las lecturas de la IMU durante un cierto tiempo, podemos notar claramente las oscilaciones en las lecturas del sensor. Esto implica que siempre que el controlador intenta hacer una corrección, siempre se sobrepasa en una cierta cantidad, que es, de hecho, la naturaleza misma de un sistema de control proporcional. Este pequeño error se puede corregir implementando un tipo diferente de controlador que tenga en cuenta todos estos factores.

El código para el sistema de control proporcional se adjunta a continuación. El código requiere el soporte de algunas bibliotecas adicionales que son la biblioteca MPU6050, la biblioteca PID y la biblioteca AccelStepper. Estos se pueden descargar utilizando el administrador de biblioteca integrado de Arduino IDE. Simplemente vaya a Sketch >> Incluir biblioteca >> Administrar bibliotecas, y luego simplemente busque PID, MPU6050 y AccelStepper en la barra de búsqueda e instálelos simplemente haciendo clic en el botón Instalar.

Aunque, mi consejo para todos aquellos de ustedes que son entusiastas de la ciencia y las matemáticas, sería intentar construir un controlador de este tipo desde cero. Esto no solo fortalecerá sus conceptos sobre la dinámica y las teorías de controles, sino que también le dará la oportunidad de implementar sus conocimientos en aplicaciones de la vida real.

Paso 15: Control del sistema (control PID)

Generalmente, en la vida real, una vez que un sistema de control demuestra ser lo suficientemente robusto para su aplicación, los ingenieros generalmente solo completan el proyecto en lugar de complicar demasiado las situaciones mediante el uso de sistemas de control más complejos. Pero en nuestro caso, estamos construyendo este péndulo invertido con un propósito puramente educativo. Por lo tanto, podemos intentar avanzar hacia sistemas de control más complejos, como el control PID, que puede resultar mucho más robusto que un sistema de control proporcional básico.

Aunque el control PID fue mucho más complejo de implementar, una vez implementado correctamente y encontrando los parámetros de ajuste perfectos, el péndulo se equilibró significativamente mejor. En este punto, también podría contrarrestar las sacudidas de la luz. Las lecturas de la IMU durante un tiempo determinado (adjunto arriba) también demuestran que las lecturas nunca se alejan demasiado del punto de ajuste deseado, es decir, el vertical, lo que demuestra que este sistema de control es mucho más efectivo y robusto que el control proporcional básico..

Una vez más, mi consejo para todos aquellos de ustedes que son entusiastas de la ciencia y las matemáticas, sería intentar construir un controlador PID desde cero antes de usar el código que se adjunta a continuación. Esto puede tomarse como un desafío, y nunca se sabe, alguien podría idear un sistema de control que sea mucho más robusto que cualquier cosa que se haya intentado hasta ahora. Aunque ya está disponible una biblioteca PID robusta para Arduino, que fue desarrollada por Brett Beauregard, que se puede instalar desde el administrador de la biblioteca en el IDE de Arduino.

Nota: Cada sistema de control y su resultado se demuestra en el video que se adjunta en el primer paso.

Paso 16: Mejoras adicionales

Una de las cosas que quería intentar era una función de "balanceo hacia arriba", donde el péndulo inicialmente cuelga debajo del carro y el carro hace algunos movimientos rápidos hacia arriba y hacia abajo a lo largo de la pista para balancear el péndulo hacia arriba desde un colgante. posición a una posición invertida al revés. Pero esto no era factible con la configuración actual porque un cable largo tenía que conectar la unidad de medición inercial al Arduino, por lo tanto, un círculo completo realizado por el péndulo puede haber causado que el cable se retuerza y se enganche. Este problema se puede solucionar utilizando un codificador rotatorio unido al pivote del péndulo en lugar de una unidad de medición inercial en la punta del mismo. Con un codificador, su eje es lo único que gira con el péndulo, mientras que el cuerpo permanece estacionario, lo que significa que los cables no se retuercen.

Una segunda característica que quería intentar era equilibrar un péndulo doble en el carro. Este sistema consta de dos péndulos conectados uno tras otro. Aunque la dinámica de tales sistemas es mucho más compleja y requiere mucha más investigación.

Paso 17: Resultados finales

Un experimento como este puede transformar el estado de ánimo de una clase de manera positiva. Generalmente, la mayoría de la gente prefiere poder aplicar conceptos e ideas para cristalizarlos, de lo contrario, las ideas permanecen "en el aire" lo que hace que la gente tienda a olvidarlas más rápidamente. Este fue solo un ejemplo de la aplicación de ciertos conceptos aprendidos durante la clase en una aplicación del mundo real, aunque esto ciertamente despertará el entusiasmo en los estudiantes para eventualmente intentar desarrollar sus propios experimentos para probar las teorías, lo que hará que sus clases futuras sean mucho más interesantes. animado, lo que les hará querer aprender más, lo que les hará proponer nuevos experimentos y este ciclo positivo continuará hasta que las aulas futuras estén llenas de experimentos y proyectos tan divertidos y agradables.

¡Espero que este sea el comienzo de muchos más experimentos y proyectos! Si le gustó este instructivo y lo encontró útil, por favor envíe un voto a continuación en el "Concurso de ciencias en el aula" y cualquier comentario o sugerencia es bienvenido. ¡Gracias!:)

Finalista en el concurso de ciencias en el aula