Gaussiano y parábola para estudiar los flujos luminosos LED de una lámpara experimental: 6 pasos

2024 Autor: John Day | [email protected]. Última modificación: 2024-01-30 08:40

Hola a todos los creadores y a la animada comunidad de Instructable.

Esta vez, Merenel Research le traerá un problema de investigación pura y una forma de resolverlo con matemáticas.

Yo mismo tuve este problema mientras calculaba los flujos LED de una lámpara LED RGB que construí (y que enseñaré a construir). Después de buscar extensamente en línea, no encontré una respuesta, así que aquí publico la solución.

EL PROBLEMA

Muy a menudo en física tenemos que lidiar con curvas que tienen la forma de la distribución gaussiana. ¡Sí! Es la curva en forma de campana que se usa para calcular la probabilidad y nos la trajo el gran matemático Gauss.

La curva de Gauss se usa ampliamente en aplicaciones físicas de la vida real, especialmente cuando tenemos que lidiar con radiación propagada de una fuente o recibida de un receptor, por ejemplo:

- la emisión de la potencia de una señal de radio (por ejemplo, el Wi-Fi);

- el flujo luminoso emitido por un LED;

- la lectura de un fotodiodo.

En la hoja de datos del fabricante, a menudo se nos da el valor real del área de Gauss, que sería la potencia radiante total o el flujo luminoso en una cierta porción del espectro (por ejemplo, de un LED), pero resulta difícil calcular la radiación real. emitida en el pico de la curva o aún más difícil saber la radiación superpuesta de dos fuentes cercanas, por ejemplo si estamos iluminando con más de un LED (ej. Azul y Verde).

En este artículo de Instructable te explicaré cómo aproximar el gaussiano con una curva mucho más fácil de captar: una parábola. Responderé a la pregunta: ¿cuántas curvas gaussianas hay en una parábola?

SPOILER → LA RESPUESTA ES:

El área gaussiana es siempre 1 unidad.

El área de la parábola correspondiente con la misma base y altura es 2.13 veces más grande que el área gaussiana relativa (vea la imagen para la demostración gráfica).

Entonces, un gaussiano es el 46,94% de su parábola y esta relación siempre es cierta.

Estos dos números están relacionados de esta manera 0.46948 = 1 / 2.13, esta es la relación matemática estricta entre una curva de Gauss y su parábola y viceversa.

En esta guía te llevaré a descubrir esto paso a paso.

El único instrumento que necesitaremos es Geogebra.org, una gran herramienta matemática en línea para dibujar gráficos.

La tabla de Geogebra que hice para comparar una parábola con una gaussiana se puede encontrar en este enlace.

Este instructivo es largo porque se trata de una demostración, pero si tiene que resolver rápidamente el mismo problema que tuve con los flujos luminosos LED u otro fenómeno con curvas gaussianas superpuestas, simplemente salte a la hoja de cálculo que encontrará adjunta en el paso 5 de esta guía, que le facilitará la vida y hará automáticamente todos los cálculos por usted.

Espero que te gusten las matemáticas aplicadas porque este instructivo se trata de eso.

Paso 1: Comprensión de la luz emitida por un LED monocromático

En este análisis, consideraré una serie de LED de colores, como puede ver claramente en su gráfico de espectro (primera imagen), su distribución de potencia espectral realmente parece una gaussiana que converge en el eje x a -33 y + 33 nm de la media (fabricantes generalmente da esta especificación). Sin embargo, tenga en cuenta que la representación de este gráfico normaliza todos los espectros en una sola unidad de potencia, pero los LED tienen potencia diferente según la eficiencia con la que se fabrican y la cantidad de corriente eléctrica (mA) que les alimenta.

Como puede ver, a veces el flujo luminoso de dos LED se superpone en el espectro. Digamos que quiero calcular fácilmente el área de superposición de esas curvas, porque en esa área habrá el doble de potencia y quiero saber cuánta potencia en términos de lumen (lm) tenemos allí, bueno, eso no es una tarea fácil que intentaremos responder en esta guía. El problema surgió porque cuando estaba construyendo la lámpara experimental realmente quería saber cuánto se superponían los espectros azul y verde.

Nos centraremos solo en los LED monocromáticos, que son aquellos que emiten en una parte estrecha del espectro. En el gráfico: AZUL REAL, AZUL, VERDE, NARANJA-ROJO, ROJO. (La lámpara real que construyo es RGB)

ANTECEDENTES DE FÍSICA

Retrocedamos un poco y hagamos una pequeña explicación de la física al principio.

Cada LED tiene un color, o más científicamente diríamos que tiene una longitud de onda (λ) que lo determina y que se mide en nanómetros (nm) y λ = 1 / f, donde f es la frecuencia de oscilación del fotón.

Entonces, lo que llamamos ROJO es básicamente un (gran) grupo de fotones que oscilan a 630 nm, esos fotones golpean la materia y rebotan en nuestros ojos, que actúan como receptores, y luego su cerebro procesa el color del objeto como ROJO; o los fotones podrían entrar directamente en tus ojos y verías el LED que los emite brillando en color ROJO.

Se descubrió que lo que llamamos luz es en realidad solo una pequeña porción del espectro electromagnético, entre 380 nm y 740 nm; entonces la luz es una onda electromagnética. Lo curioso de esa parte del espectro es que es precisamente la parte del espectro que pasa más fácilmente a través del agua. ¿Adivina qué? Nuestros ancestros ancestrales de la Sopa Primordial estaban en el agua, y es en el agua donde los primeros seres vivos, más complejos, comenzaron a desarrollar ojos. Te sugiero que veas el video de Kurzgesagt que adjunto para comprender mejor qué es la luz.

En resumen, un LED emite luz, que es una cierta cantidad de potencia radiométrica (mW) a una determinada longitud de onda (nm).

Por lo general, cuando se trata de luz visible no hablamos de potencia radiométrica (mW) sino de flujo luminoso (lm), que es una unidad de medida ponderada en la respuesta a la luz visible de los ojos humanos, deriva de la candela unidad de medida, y se mide en lumen (lm). En esta presentación, consideraremos los lúmenes emitidos por los LED, pero todo se aplicará a mW exactamente en la misma medida.

En cualquier hoja de datos de LED, el fabricante le dará estos bits de información:

Por ejemplo, en esta hoja de datos adjunta, verá que si enciende ambos LED con 100 mA, tiene eso:

AZUL está a 480 nm y tiene 11 lm de flujo luminoso;

VERDE está a 530 nm y tiene 35 lm de flujo luminoso.

Esto significa que la Curva Gaussiana del Azul será más alta, se disparará más, sin modificar su ancho y oscilará alrededor de la porción delimitada por la línea azul. En este artículo explicaré cómo calcular la altura del gaussiano que expresa la potencia máxima total emitida por el LED, no solo la potencia emitida en esa porción del espectro, desafortunadamente ese valor será menor. Además, intentaré aproximar la parte superpuesta de los dos LED para comprender cuánto flujo luminoso se superpone cuando se trata de LED que son "vecinos" en el espectro.

Medir el flujo de LED es un asunto muy complejo, si está ansioso por saber más, he subido un artículo detallado de Osram que explica cómo se hacen las cosas.

Paso 2: Introducción a la parábola

No entraré en muchos detalles sobre lo que es una parábola, ya que se estudia extensamente en la escuela.

Una ecuación de una parábola se puede escribir de la siguiente forma:

y = ax ^ 2 + bx + c

ARQUÍMEDES NOS AYUDA

Lo que me gustaría subrayar es un importante teorema geométrico de Arquímedes. Lo que dice el teorema es que el área de una parábola limitada en un rectángulo es igual a los 2/3 del área del rectángulo. En la primera imagen con la parábola puedes ver que el área azul es 2/3 y las áreas rosadas son 1/3 del área del rectángulo.

Podemos calcular la parábola y su ecuación conociendo tres puntos de la parábola. En nuestro caso calcularemos el vértice y conoceremos las intersecciones con el eje x, por ejemplo:

LED AZUL Vértice (480,?) La Y del vértice es igual a la potencia luminosa emitida en la longitud de onda máxima. Para calcularlo usaremos la relación que existe entre el área de un gaussiano (flujo real emitido por el LED) y el de una parábola y usaremos el teorema de Arquímedes para conocer la altura del rectángulo que contiene esa parábola.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODELO PARABÓLICO

Mirando la imagen que he subido se puede ver un modelo complejo para representar con parábolas varios flujos luminosos LED diferentes, pero sabemos que su representación no es exactamente así ya que se parece más a un gaussiano.

Sin embargo, con parábolas, usando fórmulas matemáticas podemos encontrar todos los puntos de intersección de varias parábolas y calcular las áreas de intersección.

En el paso 5 he adjuntado una hoja de cálculo en la que he puesto todas las fórmulas para calcular todas las parábolas y sus áreas de intersección de los LED monocromáticos.

Por lo general, la base del Gaussiano de un LED es grande de 66 nm, por lo que si conocemos la longitud de onda dominante y aproximamos la radiación del LED con una parábola, sabemos que la parábola relativa cortará el eje x en λ + 33 y λ-33.

Este es un modelo que se aproxima a un LED de luz emitida total con parábola. Pero sabemos que si queremos ser precisos, no es exactamente correcto, necesitaríamos usar curvas de Gauss, lo que nos lleva al siguiente paso.

Paso 3: Introducción a la curva gaussiana

Una gaussiana es una curva que sonará más compleja que una parábola. Fue inventado por Gauss para interpretar errores. De hecho, esta curva es muy útil para ver la distribución probabilística de un fenómeno. En la medida en que nos movemos hacia la izquierda o la derecha de la media, tenemos un cierto fenómeno menos frecuente y, como se puede ver en la última imagen, esta curva es una muy buena aproximación de los sucesos de la vida real.

La fórmula gaussiana es la que da miedo que ves como segunda imagen.

Las propiedades gaussianas son:

- es simétrico respecto a la media;

- x = μ no solo coincide con la media aritmética sino también con la mediana y la moda;

- es asintótico en el eje x en todos los lados;

- disminuye para xμ;

- tiene dos puntos de inflexión en x = μ-σ;

- el área bajo la curva es 1 unidad (siendo la probabilidad de que cualquier x verifique)

σ es la desviación estándar, cuanto mayor es el número, más amplia es la base gaussiana (primera imagen). Si un valor está en la porción 3σ sabríamos que realmente se aleja de la media y hay menos probabilidad de que suceda.

En nuestro caso, con los LED, conocemos el área del Gauss, que es el flujo luminoso dado en la hoja de datos del fabricante en un pico de longitud de onda dado (que es la media).

Paso 4: demostración con Geogebra

En esta sección te enseñaré cómo usar Geogebra para demostrar que una parábola es 2,19 veces su gaussiana.

En primer lugar, debe crear un par de variables, haciendo clic en el comando deslizante:

La desviación estándar σ = 0.1 (la desviación estándar define qué tan amplia es la curva de Gauss, puse un valor pequeño porque quería hacerla estrecha para simular una distribución de potencia espectral LED)

La media es 0, por lo que el gaussiano se basa en el eje y, donde es más fácil trabajar.

Haga clic en la función de onda pequeña para activar la sección de funciones; allí, al hacer clic en fx, puede insertar la fórmula gaussiana y verá aparecer en la pantalla una curva gaussiana alta y agradable.

Gráficamente verás dónde converge la curva en el eje x, en mi caso en X1 (-0,4; 0) y X2 (+0,4; 0) y donde está el vértice en V (0; 4).

Con estos tres puntos tienes suficiente información para encontrar la ecuación de la parábola. Si no desea realizar cálculos a mano, no dude en utilizar este sitio web o la hoja de cálculo en el siguiente paso.

Use el comando de función (fx) para completar la función de parábola que acaba de encontrar:

y = -25x ^ 2 +4

Ahora tenemos que entender cuántos gaussianos hay en una parábola.

Tendrá que usar el comando de función e insertar el comando Integral (o Integrale en mi caso, ya que estaba usando la versión italiana). La integral definida es la operación matemática que nos permite calcular el área de una función definida entre ax valores. Si no recuerda qué es una integral definida, lea aquí.

a = Integral (f, -0,4, +0,4)

Esta fórmula de Geogebra resolverá la integral definida entre -0,4 y +0,4 de la función f, la gaussiana. Como se trata de un gaussiano, su área es 1.

Haz lo mismo con la parábola y descubrirás el número mágico 2.13. Cuál es el número clave para hacer todas las conversiones de flujo luminoso con LED.

Paso 5: Ejemplo de la vida real con LED: cálculo del pico de flujo y los flujos superpuestos

FLUJO LUMINOSO EN EL PICO

Calcular la altura real de las curvas gaussianas agitadas de la distribución del flujo de LED, ahora que hemos descubierto el factor de conversión 2,19, es muy fácil.

por ejemplo:

El LED AZUL tiene 11lm de flujo luminoso

- convertimos este flujo de gaussiano a parabólico 11 x 2,19 = 24,09

- Usamos el Teorema de Arquímedes para calcular el área relativa del rectángulo que contiene la parábola 24.09 x 3/2 = 36.14

- encontramos la altura de ese rectángulo dividiendo por la base del Gauss para el LED AZUL, dado en la hoja de datos o visto en el gráfico de la hoja de datos, generalmente alrededor de 66nm, y esa es nuestra potencia en el pico de 480nm: 36.14 / 66 = 0,55

ÁREAS DE FLUJO LUMINOSO SUPERPUESTAS

Para calcular dos radiaciones superpuestas lo explicaré con un ejemplo con los siguientes dos LED:

AZUL está a 480nm y tiene 11lm de flujo luminoso VERDE está a 530nm y tiene 35lm de flujo luminoso

Sabemos y vemos en el gráfico que ambas curvas gaussianas convergen en -33nm y + 33nm, por lo tanto sabemos que:

- AZUL interseca el eje x en 447 nm y 531 nm

- VERDE interseca el eje x en 497 nm y 563 nm

Vemos claramente que las dos curvas se cruzan ya que un extremo de la primera está después del comienzo de la otra (531nm> 497nm) por lo que la luz de estos dos LED se superpone en algunos puntos.

Primero tenemos que calcular la ecuación de la parábola para ambos. La hoja de cálculo adjunta está ahí para ayudarlo con los cálculos, y ha incrustado las fórmulas para resolver el sistema de ecuaciones para determinar las dos parábolas conociendo los puntos de intersección del eje x y el vértice:

Parábola AZUL: y = -0.0004889636025x ^ 2 + 0.4694050584x -112.1247327

Parábola VERDE: y = -0,001555793281x ^ 2 + 1,680256743x - 451,9750618

en ambos casos a> 0 y, por lo que la parábola apunta correctamente al revés.

Para demostrar que estas parábolas son correctas, simplemente complete a, b, c en la calculadora de vértices en este sitio web de calculadoras de parábolas.

En la hoja de cálculo ya están hechos todos los cálculos para encontrar los puntos de intersección entre las parábolas y calcular la integral definida para obtener las áreas de intersección de esas parábolas.

En nuestro caso, las áreas de intersección de los espectros LED azul y verde es 0.4247.

Una vez que tenemos las parábolas de intersección, podemos multiplicar esta área de intersección recién fundada para el multiplicador gaussiano 0.4694 y encontrar una aproximación muy cercana de la cantidad de energía que los LED emiten juntos en total en esa sección del espectro. Para encontrar el flujo de LED único emitido en esa sección, simplemente divida por 2.

Paso 6: ¡El estudio de los LED monocromáticos de la lámpara experimental ya está completo

Bueno, muchas gracias por leer esta investigación. Espero que te sea de utilidad para comprender en profundidad cómo se emite la luz de una lámpara.

Estaba estudiando los flujos de los LED de una lámpara especial fabricada con tres tipos de LED monocromáticos.

Los "ingredientes" para hacer esta lámpara son:

- 3 LED BLU

- 4 LED VERDE

- 3 LED ROJOS

- 3 resistencias para limitar la corriente en las ramas del circuito LED

- Fuente de alimentación de 12V 35W

- Cubierta acrílica en relieve

- Control OSRAM OT BLE DIM (unidad de control LED Bluetooth)

- Disipador de calor de aluminio

- M5 en negrita y tuercas y soportes en L

Controla todo con la APP Casambi desde tu smartphone, puedes encender y regular cada canal LED por separado.

Construir la lámpara es muy sencillo:

- coloque el LED en el disipador de calor con cinta adhesiva de doble cara;

- Suelde todos los LED BLU en serie con una resistencia, y haga lo mismo con el otro color para cada rama del circuito. Según los LED que elijas (yo usé LED Lumileds) tendrás que elegir el tamaño de la resistencia en relación a la cantidad de corriente que inyectarás al LED y al voltaje total dado por la fuente de alimentación de 12V. Si no sabe cómo hacer esto, le sugiero que lea este gran instructivo sobre cómo determinar el tamaño de una resistencia para limitar la corriente de una serie de LED.

- conecte los cables a cada canal del Osram OT BLE: todos los principales positivos de las ramas de los LED van al común (+) y los tres negativos de las ramas van respectivamente a -B (azul) -G (verde) -R (rojo).

- Cablee la fuente de alimentación a la entrada del Osram OT BLE.

Ahora lo bueno del Osram OT BLE es que puedes crear escenarios y programar los canales LED, como puedes ver en la primera parte del video estoy atenuando los tres canales y en la segunda parte del video estoy usando algunos Escenarios de luz prefabricados.

CONCLUSIONES

He utilizado ampliamente las matemáticas para comprender profundamente cómo se propagarían los flujos de estas lámparas.

Realmente espero que haya aprendido algo útil hoy y haré todo lo posible para llevar a instructable más casos de investigación aplicada profunda como este.

¡La investigación es la clave!

¡Hasta la vista!

Pietro